在过去的几十年中，伴随着半导体工业和自旋电子学的不断发展，磁性这一古老的 物理学问题在低维量子系统的研究中焕发出了新的活力。人们在高磁场下的二维电子气 中相继发现了整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应，由此引发了凝聚态物理学从朗道 对称破缺理论到拓扑量子态的进步，不仅催生出了拓扑能带理论和拓扑场论，引发了拓 扑绝缘体和拓扑半金属的研究热潮，而且在制造新型节能电子器件和实现普适量子计算 方面被人们寄予厚望；人们在掺杂的锰氧化物薄膜中发现了庞磁电阻效应，其背后源于 强关联效应的电子相竞争、相分离、不同相之间的渗流以及金属绝缘转变大大丰富了人 们对强关联系统的认识，而锰氧化物自身的庞磁电阻效应和多铁性为它在实现高密度磁 性存储和设计纳米量子器件方面提供了广阔的应用前景；人们成功制备了真正意义上的 二维材料 石墨烯，其低能下二维狄拉克电子气的特性不仅为观察和模拟相对论粒 子提供了一个优秀的平台，其自身优异的性质（比如极高的电子迁移率、室温下的量子 霍尔效应、缺陷以及边界的磁性等）更让它成为未来半导体工业最具前景的材料。可以 说，低维量子系统和磁性的研究正在深刻地改变着物理学的面貌，在将来也将深刻地改 变人们的生活。 本文中我们将以三种低维量子材料：石墨烯、碳纳米管和锰氧化物庞磁电阻材料为 例，研究低维量子系统中缺陷和拓扑对于磁性的影响。在简要回顾这三种材料的发展历 史、研究现状和应用前景的基础之上，我们首先建立了描述内禀磁杂质的磁性理论。 与传统的 Anderson 磁杂质不同，内禀磁杂质是系统的本征态，与扩展态电子之间没有 SD 杂化，而且内禀磁杂质可能是局域或者准局域的。我们讨论了内禀磁杂质与巡游电 子之间的 SD 交换，建立了内禀磁杂质的 Kondo 模型，讨论了内禀磁杂质之间有效的相 互作用，并且建立了内禀磁杂质各种磁性相互作用，包括直接的海森堡交换、超交换和 RKKY 相互作用。 在此基础之上，我们将内禀磁杂质理论应用到石墨烯和碳纳米管中，分别讨论了这 两种材料中空位缺陷诱导的内禀磁杂质的磁性。在石墨烯中，空位缺陷诱导的内禀磁杂 质是准局域内禀磁杂质。当两内禀磁杂质处于同一子格时，两者之间存在铁磁的海森堡 交换和 RKKY 相互作用，且在短程范围内（两者距离较近时），海森堡交换大于 RKKY相互作用，海森堡交换主导了磁性，而在长程范围内（两者距离较远时），RKKY 相互 作用大于海森堡交换，RKKY 相互作用主导了磁性，这一转变的临界距离依赖于石墨烯 中的电子相互作用；当两内禀磁杂质处于不同子格时，两者之间存在反铁磁的超交换 和 RKKY 相互作用，且在短程范围内（两者距离较近时），超交换大于 RKKY 相互作 用，超交换主导了磁性，而在长程范围内（两者距离较远时），RKKY 相互作用大于 超交换，RKKY 相互作用主导了磁性。我们对石墨烯中这三种磁相互作用（海森堡交 换、超交换和 RKKY 相互作用）随距离的衰减速率进行了拟合，拟合结果表明，受到 准局域特性的影响，RKKY 相互作用随两杂质之间的距离 |l − l ′ | 呈 1/|l − l ′ | 衰减，这与 Anderson 磁杂质的衰减行为完全不同，Anderson 磁杂质的 RKKY 相互作用随距离的衰减 速率是 1/|l − l ′ | 3，此外，我们对海森堡交换短程范围内的衰减速率进行了拟合，拟合结 果 |l − l ′ | −1.412/|l − l ′ | −1.644 与实验上的结果相符合。通过近似，我们在平均场层面下讨论了 Kondo 单态和三重态的稳定性，结合 Lieb 定理，我们猜想石墨烯中的内禀磁杂质不会出 现 Kondo 效应。在碳纳米管中，空位缺陷诱导的内禀磁杂质是局域磁杂质，受到尺寸效 应和能隙的影响，半导体碳纳米管和金属碳纳米管中内禀磁杂质的磁性有所不同。在半 导体碳纳米管中，受到尺寸效应和能隙的双重压制，两内禀磁杂质之间的海森堡交换、 超交换和 RKKY 相互作用都随距离呈指数衰减；在金属碳纳米管中，海森堡交换和超交 换指数衰减，RKKY 相互作用在短程范围内指数衰减，在长程范围内则表现为幂指数衰 减。因此，在长程范围内，半导体碳纳米管中内禀磁杂质之间很难表现出磁性，金属碳 纳米管中则可以由残留的 RKKY 相互作用产生磁性。在短程范围内，海森堡交换和超交 换大于 RKKY 相互作用。 在讨论了缺陷对磁性的影响之后，我们转向研究磁性系统的边界态。以锰氧化物庞 磁电阻材料的双轨道双交换模型为例，我们研究了两种锰氧化物中普遍存在的相：E-type 相和 CE-type 相的拓扑性质和边界态。我们指出：E-type 单链是 Z 类的拓扑绝缘体，而 CE-type 单链是一种超越了拓扑绝缘体对称性分类（Tenfold Way 分类方法）的拓扑绝缘 体，其拓扑性质可以用 Duffin-Kemmer-Petiau 代数（简称 DKP 代数）来描述。我们研究 了这两种单链的边界态以及边界态的稳定性，并且分析了二维情况下 E-type 相和 CE-type 相的边界态。与实验上的结果相对比，我们认为，正是由于 E-type 相和 CE-type 相的拓扑 性质，使得这两种相在边界上的反铁磁序变得不稳定，即边界态的存在影响了原本磁序 的稳定性。