利用在[Ann. of Math. 182(2015), 307-325]中提出的交错多项式方法,Adam W. Marcus、Daniel A. Spielman和Nikhil Srivastava一起在[Ann. of Math. 182(2015), 327-350]中肯定地证明了两个著名猜测. 第一个是Weaver的${\rm KS}_2$猜想[Contemp. Math., 414 Operator Theory,Operator Algebras and Appls. (2006), 297-356]，已知由它再经Akemann 与 Anderson 投影铺路猜想可给出著名的Kadison-Singer问题肯定回答。 另一个是由Casazza等人在[Operators and Matrices, 1(2007), 391-408]中提出 的Anderson原始铺路猜想[Memoirs of the American Mathematical Society. no. 458, AMS, 1991]等价版本. 证明涉及[Ann. of Math. 182 (2015), 327-350]中作者提出的称之为一族矩阵的混合特征多项式族的最大根分析。通过证明混合特征多项式的实根性可以得到作者提出的交错族，而交错族具有``其中至少一个多项式的最大根至多是该族多项式和的最大根''这一重要性质。由此性质可以证明主要结论，通过后者可得到Weaver的KS2猜想证明。本文我们详细解释了这些美丽的证明。