本学位论文主要研究 Heisenberg 群上的若干问题, 其中包括 Heisenberg 群上的 Bianchi-Egnell 不等式, 极值函数的非退化性以及一类亚椭圆方程解的紧性. 本学位论文共分为四章:

在第一章中, 我们将介绍研究背景, 国内外研究现状, 以及本文的主要工作.

在第二章中, 我们证明了 Heisenberg 群上 Bianchi-Egnell 不等式最佳常数 $H_{BE}$ 的存在性. 首先, 我们通过改进 Brezis 与 Lieb 在 \cite{BrezisLiebProc1983} 中使用的方法, 利用两个渐近非相互作用的极值函数的和得到关于 $H_{BE}$ 的严格不等式  $H_{BE}

在第三章中, 我们证明了 Heisenberg 群上 Sobolev 不等式的极值函数的非退化性. 在第二章谱分析的启发下, 我们通过研究 Heisenebrg 群中单位球上的共形次拉普拉斯算子的谱得到极值函数的非退化性, 这意味着对应的线性化算子的核是左不变向量场的线性组合. 其次, 利用 Heisenberg 群上右不变向量场与左不变向量场的可交换性, 我们将得到非退化性的另一表现形式. 最后, 结合约化方法, 我们将研究 Webster 数量曲率问题的集中解, 这是对 Cao \cite{CAONoussairYancvpde2002} 中结论的改进.

在第四章中, 我们将利用新得到的非退化性结果研究 Heisenberg 群上一类位势只有非退化零点的带有临界指标的亚椭圆偏微分方程的非负解的紧性. 证明方法来源于 Schoen 为证明 Yamabe 方程解的紧性而建立的爆破分析方法. 我们将利用反证法, 即假设该方程存在一列爆破解, 同时存在一列对应的爆破点; 然后依次证明爆破点都是孤立爆破点, 孤立爆破点一定都是孤立单的爆破点; 最后对于孤立单的爆破点, 利用 Heisenberg 群上的 Pohozaev 型恒等式得出矛盾. 

In this thesis, we are concerned with some kinds of problems related to Heisenberg group, including the Bianchi-Egnell inequality on Heisenberg group, nondegeneracy of the bubble in the critical case for sub-Laplacian and the compactness of nonnegative solutions for a class of sub-Laplacian equation with critical exponent. This thesis is divided into four chapters:

In Chapter 1, we introduce the background, research status, and the main work of this thesis.

In Chapter 2, we prove the existence of the optimal constant $H_{BE}$ for the Bianchi-Egnell inequality on the Heisenberg group. Firstly, by improving the method used by Brezis and Lieb in \cite{BrezisLiebProc1983} and utilizing the sum of two asymptotically non-interacting extremal functions, we obtain a strict inequality regarding $H_{BE}$; more precisely, $H_{BE}

In Chapter 3, we aim to prove the non-degeneracy of the extremal functions for the Sobolev inequality on the Heisenberg group. Inspired by the spectral analysis in Chapter 2, we obtain the non-degeneracy of the extremal functions by studying the spectrum of the conformal Laplacian on the unit ball in the Heisenberg group. This implies that the kernel of the corresponding linearized operator is a linear combination of left-invariant vector fields. Secondly, utilizing the commutativity of right-invariant and left-invariant vector fields on the Heisenberg group, we derive another manifestation of non-degeneracy. Finally, as an application of non-degeneracy, we generalize the conclusions of Cao's work in \cite{CAONoussairYancvpde2002}.